Question

已知P（x，y）為圓C：x²+y²-4x-14y+45=0上的動(dòng)點(diǎn)，
（1）求x²+y²+4x-6y+13的最大值和最小值；
（2）求k=

y-3

x+2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)Q（-2，3），則x²+y²-4x+6y+13=（x+2）²+（y-3）²=|PQ|²，可得|PQ|的最值，即可求x²+y²+4x-6y+13的最大值和最小值；
（2）依題意，k為（-2，3）與圓C上任意一點(diǎn)連線的斜率，它的最大值和最小值分別是過(guò)（-2，3）的圓C的切線的斜率，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)Q（-2，3），則x²+y²-4x+6y+13=（x+2）²+（y-3）²，
即x²+y²+4x-6y+13表示圓C上的點(diǎn)與Q的距離的平方|PQ|²，
因?yàn)閨PQ|_max=|CQ|+R=6

2

，|PQ|_min=|CQ|-R=2

2

，
所以原式的最大值為72，原式的最小值為8
（2）依題意，k為（-2，3）與圓C上任意一點(diǎn)連線的斜率，它的最大值和最小值分別是過(guò)（-2，3）的圓C的切線的斜率，
所以k_max=tan（45°+30°）=2+

3

，k_min=tan（45°-30°）=2-

3

（注意k_QC=1），
所以k∈[2-

3

，2+

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查取值范圍的確定，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查圓的性質(zhì)，屬于中檔題．