Question

1．設(shè)直線(xiàn)x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P（m，0）滿(mǎn)足（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，則該雙曲線(xiàn)的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)方程求出漸近線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)條件和向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為：設(shè)AB的中點(diǎn)是C，且$\overrightarrow{PC}⊥\overrightarrow{AB}$，由斜率之積等于-1列出方程，化簡(jiǎn)后求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線(xiàn)分別為：$y=±\frac{a}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{x-3y+m=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{ma}{3b-a}}\\{y=\frac{mb}{3b-a}}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（$\frac{ma}{3b-a}$，$\frac{mb}{3b-a}$），
同理可求B的坐標(biāo)是（$\frac{-ma}{3b+a}$，$\frac{mb}{3b+a}$），
設(shè)AB的中點(diǎn)是C，則C的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}（\frac{ma}{3b-a}+\frac{-ma}{3b+a}）$，$\frac{1}{2}（\frac{mb}{3b-a}+\frac{mb}{3b+a}）$），
因?yàn)椋?\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{PC}⊥\overrightarrow{AB}$，
因?yàn)锳B的斜率是$\frac{1}{3}$，所以PC的斜率是-3，
則$\frac{\frac{1}{2}（\frac{mb}{3b-a}+\frac{mb}{3b+a}）-0}{\frac{1}{2}（\frac{ma}{3b-a}+\frac{-ma}{3b+a}）-m}$=-3，化簡(jiǎn)得a²=4b²，
所以c²=a²+b²=$\frac{5}{4}{a}^{2}$，則${e}^{2}=\frac{5}{4}$，
所以該雙曲線(xiàn)的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，向量的運(yùn)算，以及垂直的轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．