Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，平面，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，且

【解析】

試題分析：（1）要證明線面平行，只要證線線平行，由中位線定理易得，注意寫(xiě)出線面平行判定定理的所有條件，都能得出結(jié)論；（2）求二面角，圖形中有交于同一點(diǎn)的兩兩相互垂直的三條直線，如，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，可寫(xiě)出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得平面與平面的法向量，由法向量的夾角可得二面角（本題要求的是銳二面角）；（3）存在性命題，研究性命題，一般假設(shè)存在，并設(shè)，其中，這樣可得出點(diǎn)坐標(biāo)，由向量和向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值等于出兩異面直線的夾角的余弦，由引可求得（如求不出，說(shuō)明不存在），進(jìn)而可得線段長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以

又平面平面

所以平面；

（2）因?yàn)?/span>平面

所以平面

所以，又因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以

所以

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即

再令，得

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即

再令，得，所以

所以平面與平面所成銳二面角的大小為；

（3）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與直線所成角為

依題意可設(shè)，其中，由，則

又因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)橹本�與直線所成角為，

所以，即

所以

所以在線段上存在一點(diǎn)，使直線與直線所成角為，此時(shí).