Question

設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=f^-1（x），數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

1

nf′(n)g′(n)

，n∈N₊，S_n是該數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則[S_n-

1

2

]等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)，求出f（x）與g（x）的導(dǎo)數(shù)，代入a_n=

1

nf′(n)g′(n)

整理得到通項(xiàng)公式，求出和后得到S_n-

1

2

，結(jié)合[x]表示不超過x的最大整數(shù)得答案．

解答： 解：∵f（x）=2^x，g（x）=f^-1（x），
∴g（x）=log₂x．
f′（x）=2^xln2，g′(x)=

1

xln2

．
則a_n=

1

nf′(n)g′(n)

=

1

n•2nln2• 1 nln2

=

1

2n

，
∴Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
則[S_n-

1

2

]=[

1

2

-

1

2n

]=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是中檔題．