Question

已知f（x）=

3

4

x²-3x+4，若f（x）的定義域和值域都是[a，b]，則a+b=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)槎�義域和值域都是[a，b]，說(shuō)明函數(shù)最大值和最小值分別是a和b，所以根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分類(lèi)討論即可．

解答： 解：∵f（x）=

3

4

x²-3x+4=

3

4

(x-2)2+1，∴x=2是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分類(lèi)討論：
①當(dāng)b＜2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上遞減，又∵值域也是[a，b]，∴得方程組

f(a)=b f(b)=a

即

3 4 a2-3a+4=b 3 4 b2-3b+4=a

，兩式相減得

3

4

（a+b）（a-b）-3（a-b）=b-a，又∵a≠b，∴a+b=

8

3

，
由

3

4

a2-3a+4=

8

3

-a，得3a²-8a+4=0，∴a=

4

3

∴b=2，但f（2）=1≠

4

3

，故舍去．
②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，得f（2）=1=a，又∵f（1）=

7

4

＜2，∴f（b）=b，得

3

4

b2-3b+4=b，∴b=

4

3

（舍）
或b=4，∴a+b=5
③當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上遞增，又∵值域是[a，b]，∴得方程組

f(a)=a f(b)=b

，
即a，b是方程

3

4

x²-3x+4=x的兩根，即a，b是方程3x²-16x+16=0的兩根，∴

a= 4 3 b=4

，但a＞2，故應(yīng)舍去．
故答案為：5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．