Question

△ABC中三個角的對邊分別記為a、b、c，其面積記為S，有以下命題：
①S=

1

2

a²

sinBsinC

sinA

；
②若2cosBsinA=sinC，則△ABC是等腰直角三角形；
③sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC；
④（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）則△ABC是等腰或直角三角形．
其中正確的命題有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：△ABC中，由正弦定理以及三角形面積公式可以推到出①正確；
由三角形的內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式，推導(dǎo)出②錯誤；
由余弦定理和正弦定理可以推導(dǎo)出③正確；
由正弦定理和二倍角公式推導(dǎo)出△ABC是等腰或直角三角形，判定④正確．

解答： 解：對于①，△ABC中，∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴b=

asinB

sinA

，
∴面積S=

1

2

absinC=

1

2

a•

asinB

sinA

•sinC=

1

2

a²

sinBsinC

sinA

，∴命題①正確；
對于②，△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosBsinA，
∴sinAcosB-cosAsinB=0，sin（A-B）=0，∴A=B，∴△ABC是等腰三角形；∴命題②錯誤；
對于③，△ABC中，由余弦定理得c²=a²+b²-2ab•cosC，
由正弦定理得sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，∴命題③正確；
對于④，△ABC中，∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴a²[sin（A-B）-sin（A+B）]=-b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
即  a²[sin（A+B）-sin（A-B）]=b²[sin（A-B）+sin（A+B）]，
∴2a²cosA•sinB=2b²sinAcosB，
由正弦定理得 2sin²AcosA•sinB=2sin²BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B；
∴sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0；
∴A=B，或A+B=90°，∴△ABC是等腰或直角三角形；∴命題④正確．
綜上，正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式以及二倍角的三角函數(shù)公式的 應(yīng)用問題，是綜合性題目．