Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x^a+1（a∈Q）的定義域為[-b，-a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f（x）在[a，b]上的最大值為6，最小值為3，則f（x）在[-b，-a]上的最大值與最小值的和是（　　）

• A、-5
• B、9
• C、-5或9
• D、以上不對

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x）=x^α+1得f（x）-1=x^α，由題意知函數(shù)y=x^α，或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，再根據(jù)奇（偶）函數(shù)的圖象特征，利用函數(shù)y=x^α在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，根據(jù)圖象的對稱性可得y=x^α在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的情況，從而得出答案．

解答： 解：令g（x）=x^α，定義域為[-b，-a]∪[a，b]，則
∵函數(shù)f（x）=x^α+1（α∈Q）在區(qū)間[a，b]上的最大值為6，最小值為3，
∴g（x）=x^α在區(qū)間[a，b]上的最大值為5，最小值為2，
若g（x）=x^α是偶函數(shù)，則g（x）=x^α在區(qū)間[-b，-a]上的最大值為5，最小值為2，
∴函數(shù)f（x）=x^α+1（α∈Q）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值為6，最小值為3，最大值與最小值的和9；
若g（x）=x^α是奇函數(shù)，則g（x）=x^α在區(qū)間[-b，-a]上的最大值為-2，最小值為-5，
∴函數(shù)f（x）=x^α+1（α∈Q）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值為-1，最小值為-4，最大值與最小值的和-5；
∴f（x）在區(qū)間[-b，-a]上的最大值與最小值的和為-5或9．
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的奇偶性，考查分類討論的數(shù)學思想，正確運用冪函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．