Question

用二項式定理證明：
（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除；
（2）（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（1）根據2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4×（1+5）ⁿ+5n-4，再用二項式定理展開化簡可得它能被25整除．
（2）把 (

3

2

)n-1=(1+

1

2

)n-1 按照二項式定理展開可得它大于

n+1

2

，從而證得（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

．

解答： 解：（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4×6ⁿ+5n-4=4×（1+5）ⁿ+5n-4 
=4×[1+

C

1 n

×5+

C

2 n

×5²+…+

C

5 n

×5ⁿ]+5n-4=25n+

C

2 n

×5²+…+

C

5 n

×5ⁿ]，顯然能被25整除．
（2）∵(

3

2

)n-1=(1+

1

2

)n-1=1+（n-1）×

1

2

+

C

2 n-1

×(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1＞1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
∴（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，用放縮法證明不等式，屬于基礎題．