Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮；現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（1）求f（5）的值；
（2）利用合情推理歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系，并求f（n）的表達(dá)式；
（3）求證：

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

＜

3n-1

2n

．

Answer 1

考點：進(jìn)行簡單的合情推理,反證法與放縮法

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…從而得出f（5）；
（2）將（1）總結(jié)一般性的規(guī)律：f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，再從總結(jié)出來的一般性的規(guī)律轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解即得．
（3）由

1

f(n)+2n-1

=

1

2n2

利用放縮法可證得：

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

＜

3n-1

2n

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）-f（1）=4=4×1．
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4
∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）
（Ⅱ）由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n．…（8分）
∴f（2）-f（1）=4×1，
f（3）-f（2）=4×2，
f（4）-f（3）=4×3，
…
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n）-f（n-1）=4•（n-1）…（10分）
∴f（n）-f（1）=4[1+2+…+（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1．…（12分）
（3）∵f（n）+2n-1=2n²，
∴

1

f(n)+2n-1

=

1

2n2

 
∴

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

=1+

1

2

（

1

2×2

+

1

3×3

+…+

1

n×n

）
＜1+

1

2

[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

]
=1+

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=1+

1

2

（1-

1

n

）
=

3n-1

2n

．

點評：本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結(jié)其內(nèi)在聯(lián)系，得到一般性的結(jié)論，若求解的項數(shù)較少，可一直推理出結(jié)果，若項數(shù)較多，則要得到一般求解方法，再求具體問題．