Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（x∈R），滿足f（0）=f（

1

2

）=0，且f（x）的最小值是-

1

8

．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）通過b_n=

Sn

n+k

構造一個新數(shù)列{b_n}，是否存在非零常數(shù)k，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等差數(shù)列的性質

專題：計算題,存在型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于足f（0）=f（

1

2

）=0，及f（x）的最小值是-

1

8

，利用二次函數(shù)圖象的頂點坐標列方程，即可解得a，b，可得f（x），由于點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，可得S_n關于n的二次函數(shù)．當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n．
（2）由于b_n=

Sn

n+k

=

2n2-n

n+k

，只要取得的k的值使得b_n為關于n的一次函數(shù)即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（

1

2

）=0，
∴c=0，且

1

4

a+

1

2

b=0，
∴a=-2b，
∴f（x）=-2bx²+bx，
∵f（x）_min=-

1

8

即-2b×

1

16

+

1

4

b=-

1

8

，∴b=-1，
∴f（x）=2x²-x，
∵點（n，S_n）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴S_n=2n²-n
則S_n-1=2（n-1）²-（n-1）（n≥2）
=2n²-5n+3，
∴a_n=S_n-S_n-1=4n-3（n≥2）
又S₁=1=4-3，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4n-3；
（2）∵b_n=

Sn

n+k

=

2n2-n

n+k

=

2n(n- 1 2 )

n+k

，
令k=-

1

2

，即得b_n=2n，此時數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴存在非零常數(shù)k=-

1

2

，使得{b_n}為等差數(shù)列．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質、數(shù)列的通項公式a_n與S_n之間的關系、等差數(shù)列的定義與通項公式及前n項和公式，是一道中檔題．