Question

如圖四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=

2

．
（1）證明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求三棱錐C-ADD′的體積V_C-ADD′．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出A′BCD′是平行四邊形，從而得到A′B∥面B′CD′，由此能夠證明平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）先證明A′O⊥平面ABCD，再求三棱錐C-ADD′的體積V_C-ADD′．

解答： （1）證明：在四棱柱中，
∵BC∥A′D′，且BC=A′D′，
∴A′BCD′是平行四邊形，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B?平面B′CD′，CD′?B′CD′，
∴A′B∥面B′CD′，
又A′B?面A′BD，A′D?面A′BD，且A′B∩A′D=A′，
∴平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）解：∵A′O=1，AB=AA′=A′D=

2

．
∴A′O²+OA²=AA^'2，A′O²+OB²=A′B²，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴V_C-ADD′=V_D′-ACD=V_A′-ACD=

1

3

S_△ACD•A′O=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查三棱錐C-ADD′的體積V_C-ADD′，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．