Question

6．已知λ∈R，函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x＜0}\\{lgx，x＞0}\end{array}}\right.$g（x）=x²-4x+1+4λ，若關(guān)于x的方程f（g（x））=λ有6個解，則λ的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\frac{2}{3}）$
• B． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$
• C． $（\frac{2}{5}，\frac{1}{2}）$
• D． $（0，\frac{2}{5}）$

Answer 1

分析 令g（x）=t，畫出y=f（t）與y=λ的圖象，則方程f（t）=λ的解有3個，由圖象可得，0＜λ＜1．且三個解分別為t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ再由g（x）=t，應(yīng)用判別式大于0，分別求解，最后求交集即可．

解答 解：令g（x）=t，則方程f（t）=λ的解有3個，由圖象可得，0＜λ＜1．
且三個解分別為t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ，
則x²-4x+1+4λ=-1-λ，x²-4x+1+4λ=-1+λ，
x²-4x+1+4λ=10^λ，均有兩個不相等的實根，
則△₁＞0，且△₂＞0，且△₃＞0，
即16-4（2+5λ）＞0且16-4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜$\frac{2}{5}$，
當(dāng)0＜λ＜$\frac{2}{5}$時，△₃=16-4（1+4λ-10^λ）＞0即3-4λ+10^λ＞0恒成立，
故λ的取值范圍為（0，$\frac{2}{5}$）．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，由二次方程的判別式得到解決，本題有一定的難度．