Question

1．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面FGH∥平面PDE；
（Ⅱ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的中位線的性質(zhì)證明FG∥PE，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得結(jié)論．
（Ⅱ）先證明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根據(jù)FH∥BC，則FH⊥平面ABE．
（Ⅲ）在線段PC上存在一點M，滿足條件．先證明PE=BE，根據(jù)F為PB的中點，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此時，則△PFM∽△PCB，根據(jù)對應(yīng)邊成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值

解答 證明：（Ⅰ）因為F，G分別為BP，BE的中點，
所以FG∥PE．
又因為FG?平面PED，PE?平面PED，
所以，F(xiàn)G∥平面PED，
同理FH∥BC，
又BC∥AD，
所以FH∥平面PDE
而FG∩FH=F，故平面FGH∥平面PDE （4分）
（Ⅱ）因為EA⊥平面ABCD，
所以EA⊥CB．
又因為CB⊥AB，AB∩AE=A，
所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分別為線段PB，PC的中點，
所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，
所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在線段PC上存在一點M，使PB⊥平面EFM．
證明如下：
在直角三角形AEB中，因為AE=1，AB=2，
所以BE=$\sqrt{5}$．
在直角梯形EADP中，因為AE=1，AD=PD=2，
所以PE=$\sqrt{5}$，
所以PE=BE．
又因為F為PB的中點，
所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因為PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥CB，
又因為CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，
所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得PM：PB=PF：PC．
由已知可求得PB=2$\sqrt{3}$，PF=$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$，
所以PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$   （14分）

點評 本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．