Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+a+1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[-2，3]上的值域；
（2）函數(shù)f（x）在[-5，5]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）將a=1的值代入f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)f（x）的解析式，從而求出函數(shù)的值域即可；
（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（3）通過(guò)討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷g（a）的解析式即可．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²+2ax+a+1，
當(dāng)a=1時(shí)：f（x）=x²+2x+2，x∈[-2，3]，
考慮函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=-1∈[-2，3]，
∴f_min（x）=f（-1）=1，
∴f_max（x）=f（3）=17；
∴函數(shù)的值域是[1，17]；
（2）∵函數(shù)f（x）在[-5，5]上單調(diào)，
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=-a∉[-5，5]，
∴a∈（-∞，-5]∪[5，+∞）；
（3）①當(dāng)-a＜0時(shí)，即a＞0函數(shù)f（x）=x²+2ax+a+1在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值是f（0）=a+1；
②當(dāng)0≤-a≤2時(shí)，即-2≤a≤0由于函數(shù)f（x）=x²+2ax+a+1對(duì)稱(chēng)軸是x=-a，
故當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上取得最小值是f（-a）=a²+a+1．
③當(dāng)-a＞2時(shí)，即a＜-2函數(shù)f（x）=x²+2ax+a+1在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值是f（2）=5a+5．
綜上可得 g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a+1，a＞0}\\{{a}^{2}+a+1，-2≤a≤0}\\{5a+5，a＜-2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．