Question

已知x=

1

2

是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一個極值點
（1）求b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設g（x）=f（x）-

1

x

，求過點P（2，5）的曲線y=g（x）的切線方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）解f′（

1

2

）=0得到b值，再驗證x=

1

2

為極值點．
（Ⅱ）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）設切點坐標，表示出切線方程，轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)問題，進一步利用數(shù)形結(jié)合即可求得．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，∵x=

1

2

是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一個極值點，
∴f′（

1

2

）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，當b=-1時，f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0；當x＞

1

2

時，f′（x）＞0，所以x=

1

2

為f（x）的極小值點，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
令f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

1

2

，+∞）．
（Ⅲ）g（x）=f（x）-

1

x

=2x+lnx，
設切點坐標為（x₀，2x₀+lnx₀），則斜率為2+

1

x0

，切線方程為：y-5=（2+

1

x0

）（x-2）．
∴又切線過點（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（2-x₀），
即lnx₀+

2

x0

-2=0．解得x₀=1，
∴切線方程為：y-5=3（x-2），即3x-y-1=0．

點評：本題考查了應用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性問題，難度稍大，注意本題中數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的運用．