Question

已知遞增等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且S₃=2S₂+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2n-1+a_n（n∈N^*），且{b_n}的前n項和T_n．求證：T_n≥2．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設公比為q，由題意1+q+q²=2（1+q）+1，由此能求出an=2n-1．
（2）由b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1，Tn=[1+3+…+(2n-1)]+1+(1+2+…2n-1)=n²+2ⁿ-1，由此能證明T_n≥2．

解答： （1）解：設公比為q，由題意：q＞1，a₁=1，
則a₂=q，a3=q2，
∵S₃=2S₂+1，∴a₁+a₂+a₃=2（a₁+a₂）+1，…（2分）
則1+q+q²=2（1+q）+1，
解得：q=2或q=-1（舍去），
∴an=2n-1．…（4分）
（2）證明：b_n=2n-1+a_n=2n-1+2^n-1，…（6分）
Tn=[1+3+…+(2n-1)]+1+(1+2+…2n-1)
=

n[1+(2n-1)]

2

+

1-2n

1-2

=n²+2ⁿ-1．…（8分）
又∵Tn=n2+2n-1在[1，+∞）上是單調(diào)遞增的，
∴T_n≥T₁=2，
∴T_n≥2．…（10分）

點評：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．