Question

為了尋找馬航MH370殘骸，我國“雪龍?zhí)枴笨瓶即��?014年3月26日從港口O出發(fā)，沿北偏東α角的射線OZ方向航行，而在港口北偏東β角的方向上有一個給科考船補(bǔ)給物資的小島A，OA=300

13

海里，且tanα=

1

3

，cosβ=

2

13

．現(xiàn)指揮部需要緊急征調(diào)位于港口O正東m海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝上補(bǔ)給物資供給科考船．該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇．經(jīng)測算當(dāng)兩船運(yùn)行的航線與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積S最小時，這種補(bǔ)給方案最優(yōu)．
（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S（m）；
（2）應(yīng)征調(diào)位于港口正東多少海里處的補(bǔ)給船只，補(bǔ)給方案最優(yōu)？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：先以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系．
（1）先求出直線OZ的方程，然后根據(jù)β的正余弦值和OA的距離求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得到直線AB的方程，然后再與直線OZ的方程聯(lián)立求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式可得到答案．
（2）根據(jù)（1）中S（m）的關(guān)系式，進(jìn)行變形整理，然后利用基配方法求出最小值．

解答： 解：（1）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，正北的方向?yàn)閥軸正方向建立直角坐標(biāo)系，…（1分）
則直線OZ的方程為y=3x，
設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），則x₀=300

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sinβ=900，y₀=300

13

cosβ=600，
∴A（3a，2a），即A（900，600），…（3分）
又B（m，0），則直線AB的方程為：y=

600

900-m

（x-m），…（4分）
由此得到C點(diǎn)坐標(biāo)為：（

200m

m-700

，

600m

m-700

），…（6分）
∴S（m）=S_△OBC=

1

2

|OB||y_c|=

300m2

m-700

（m＞700）． …（8分）
（2）由（1）知S（m）=

300m2

m-700

=

300

- 700 m2 + 1 m

=

300

-700( 1 m - 1 1400 )2+ 1 2800

…（10分）
∴當(dāng)

1

m

=

1

1400

，即m=1400時，S（m）最小，
∴征調(diào)m=1400海里處的船只時，補(bǔ)給方案最優(yōu)．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用、三角形的面積公式、配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的建模思想和轉(zhuǎn)化思想．