Question

如圖，直線l：y=kx+b與拋物線x²=2py（常數(shù)p＞0）相交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h為定值），線段AB的中點(diǎn)為D，與直線l：y=kx+b平行的切線的切點(diǎn)為C（不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)為切點(diǎn)）．
（1）用k、b表示出C點(diǎn)、D點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明CD垂直于x軸；
（2）求△ABC的面積，證明△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連AC、BC，再作與AC、BC平行的切線，切點(diǎn)分別為E、F，小張馬上寫出了△ACE、△BCF的面積，由此小張求出了直線l與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請(qǐng)你說出理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線l：y=kx+b代入拋物線x²=2py，求出D的坐標(biāo)，設(shè)切線方程為y=kx+m，代入拋物線方程，求出C的坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；
（2）利用韋達(dá)定理，表示出三角形面積，即可得出結(jié)論；
（3）分別求出a₁=S_△ABC=

h3

16p

，a₂=S_△ACE+S_△BCF=

1

4

•

h3

16p

，按上面構(gòu)造三角形的方法，無限的進(jìn)行下去，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由直線l：y=kx+b與拋物線x²=2py，
得x²-2pkx-2pb=0，
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2pb
∴點(diǎn)D（pk，pk²+b）…（2分）
設(shè)切線方程為y=kx+m，
代入拋物線方程可得x²-2pkx-2pm=0，
得△=4p²k²+8pm=0，
m=

pk2

2

，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為pk，得C（pk，

pk2

2

）…（4分）
由于C、D的橫坐標(biāo)相同，∴CD垂直于x軸．…（6分）
（2）∵h2=|x2-x1|2=4p²k²+8pb，∴b=

h2-4p2k2

8p

．…（8分）
∴S_△ABC=

1

2

|CD||x₂-x₁|=

h3

16p

．…（11分）
∴△ABC的面積與k、b無關(guān)，只與h有關(guān)．…（12分）
（3）由（1）知CD垂直于x軸，|x_C-x_A|=|x_B-x_C|=

h

2

，
由（2）可得△ACE、△BCF的面積只與

h

2

有關(guān)，將S_△ABC=

h3

16p

中的h換成

h

2

，
可得S_△ACE=S_△BCF=

1

8

•

h3

16p

．…（14分）
記a₁=S_△ABC=

h3

16p

，a₂=S_△ACE+S_△BCF=

1

4

•

h3

16p

，按上面構(gòu)造三角形的方法，無限的進(jìn)行下去，可以將拋物線C與線段AB所圍成的封閉圖形的面積，看成無窮多個(gè)三角形的面積的和，即數(shù)列{a_n}的無窮項(xiàng)和，此數(shù)列公比為

1

4

，
∴封閉圖形的面積S=

a1

1- 1 4

=

4

3

a1=

h3

12p

…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．