Question

如圖，直線l：y=kx+b與拋物線x²=2py（常數(shù)p＞0）相交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h為定值），線段AB的中點為D，與直線l：y=kx+b平行的切線的切點為C（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點為切點）．
（1）用k、b表示出C點、D點的坐標，并證明CD垂直于x軸；
（2）求△ABC的面積，證明△ABC的面積與k、b無關，只與h有關；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后，小張連AC、BC，再作與AC、BC平行的切線，切點分別為E、F，小張馬上寫出了△ACE、△BCF的面積，由此小張求出了直線l與拋物線圍成的面積，你認為小張能做到嗎？請你說出理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線l：y=kx+b代入拋物線x²=2py，求出D的坐標，設切線方程為y=kx+m，代入拋物線方程，求出C的坐標，即可證明結論；
（2）利用韋達定理，表示出三角形面積，即可得出結論；
（3）分別求出a₁=S_△ABC=

h3

16p

，a₂=S_△ACE+S_△BCF=

1

4

•

h3

16p

，按上面構造三角形的方法，無限的進行下去，即可得出結論．

解答： 解：（1）由直線l：y=kx+b與拋物線x²=2py，
得x²-2pkx-2pb=0，
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2pb
∴點D（pk，pk²+b）…（2分）
設切線方程為y=kx+m，
代入拋物線方程可得x²-2pkx-2pm=0，
得△=4p²k²+8pm=0，
m=

pk2

2

，切點的橫坐標為pk，得C（pk，

pk2

2

）…（4分）
由于C、D的橫坐標相同，∴CD垂直于x軸．…（6分）
（2）∵h2=|x2-x1|2=4p²k²+8pb，∴b=

h2-4p2k2

8p

．…（8分）
∴S_△ABC=

1

2

|CD||x₂-x₁|=

h3

16p

．…（11分）
∴△ABC的面積與k、b無關，只與h有關．…（12分）
（3）由（1）知CD垂直于x軸，|x_C-x_A|=|x_B-x_C|=

h

2

，
由（2）可得△ACE、△BCF的面積只與

h

2

有關，將S_△ABC=

h3

16p

中的h換成

h

2

，
可得S_△ACE=S_△BCF=

1

8

•

h3

16p

．…（14分）
記a₁=S_△ABC=

h3

16p

，a₂=S_△ACE+S_△BCF=

1

4

•

h3

16p

，按上面構造三角形的方法，無限的進行下去，可以將拋物線C與線段AB所圍成的封閉圖形的面積，看成無窮多個三角形的面積的和，即數(shù)列{a_n}的無窮項和，此數(shù)列公比為

1

4

，
∴封閉圖形的面積S=

a1

1- 1 4

=

4

3

a1=

h3

12p

…（18分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．