Question

某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人，吳老師采用A、B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班進行教學(xué)實驗．為了解教學(xué)效果，期末考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，作出的莖葉圖如圖所示．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．
（1）在乙班樣本的20個個體中，從不低于80分的成績中隨機抽取2個，記隨機變量ξ為抽到“成績優(yōu)秀”的個數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)？

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	總計
成績優(yōu)秀
成績不優(yōu)秀
總計

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意得ξ=0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由已知數(shù)據(jù)能完成2×2列聯(lián)表，據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求出K²≈3.137＞2.706，所以有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．

解答： 解：（1）由題意得ξ=0，1，2…．（1分）
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 9

=

1

6

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 4

C 2 9

=

5

9

，
P（ξ=2）=

C 2 5

C 2 9

=

5

18

，…．（4分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 6	5 9	5 18

Eξ=0×

1

6

+1×

5

9

+2×

5

18

=

10

9

．…．（6分）
（2）由已知數(shù)據(jù)得

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	總計
成績優(yōu)秀	1	5	6
成績不優(yōu)秀	19	15	34
總計	20	20	40

…．（10分）
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，K²=

40×(1×15-5×19)2

6×34×20×20

≈3.137．
由于3.137＞2.706，
∴有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．…．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查2×2列聯(lián)表的應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．