Question

已知（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，n∈N^*且S_n=a₁+2a₂+…+na_n，n∈N^*，n=3時，S₃=

 

；當(dāng)n∈N^*時，

n

i=1

Si=

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：當(dāng)n=3時，利用二項式定理求得a₁、a₂、a₃的值，可得S₃=a₁+2a₂+3a_n的值，化簡

n

i=1

Si=

C

1 n

+（

C

1 n

+2

C

2 n

）+（

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

）+…+（

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

）．對于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1并且兩邊同時取導(dǎo)數(shù)可得n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，可得 

n

i=1

Si=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，再用錯位相減法求得

n

i=1

Si 的值．

解答： 解：當(dāng)n=3時，∵（1+x）³=1+3x+3x²+3x³，∴a₁=3，a₂=3，a₃=1，
∴S₃=a₁+2a₂+3a_n=3+6+3=12．

n

i=1

Si=a₁+（a₁+2a₂）+（a₁+2a₂+3a₃）+…+（a₁+2a₂+3a₃+…+na_n）
=

C

1 n

+（

C

1 n

+2

C

2 n

）+（

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

）+…+（

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

）．
對于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1并且兩邊同時取導(dǎo)數(shù)可得，n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
∴

n

i=1

Si=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2

n

i=1

Si=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
錯位相減法可得-

n

i=1

Si=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n2ⁿ =

1×(1-2n)

1-2

-n2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
花簡求得

n

i=1

Si=（n-1）×2ⁿ +1，
故答案為：12；（n-1）×2ⁿ +1．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．