Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，右焦點(diǎn)F₂到直線l₁：3x+4y=0的距離為

3

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)F₂斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF₂的斜率為k′，求證：k•k′為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率等于

1

2

，結(jié)合右焦點(diǎn)F₂到直線l₁：3x+4y=0的距離為

3

5

聯(lián)立方程組求解a，c的值，進(jìn)一步求得b的值，則橢圓C的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求得E，F(xiàn)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫出AE和AF的方程，取x=3求得點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率公式求得直線PF₂的斜率為k′，代入k•k′整理為定值．

解答： （Ⅰ）解：由題意得e=

c

a

=

1

2

，

|3c|

32+42

=

3c

5

=

3

5

，
∴c=1，a=2，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），
再設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），點(diǎn)F（x₂，y₂），
將直線l方程y=k（x-1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
∵點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，
∴直線l和橢圓都相交，△＞0恒成立，
且x1+x2=

8k2

4k2+3

x1•x2=

4k2-12

4k2+3

，
直線AE的方程為：y=

y1

x1-2

(x-2)，直線AF的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)．
令x=3，得點(diǎn)M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)(3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

))，
直線PF₂的斜率為k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)
=

1

4

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

，
將x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式，得：k′=

1

4

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2 8k2 4k2+3 +4

=-

3

4k

∴k•k'為定值-

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．