Question

4．已知$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，（$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）=61$，
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角
（2）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，以及向量的夾角公式，就是即可得到所求夾角；
（2）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，即可得到所求值．

解答 解：（1）由$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）=61$，
可得4$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=61，即有4×16-3×9-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=61，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6，
由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
由于0≤θ≤π，可得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$；
（2）$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{16+9-12}$=$\sqrt{13}$；
$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{16+36+24}$=2$\sqrt{19}$．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，主要考查向量的夾角公式和向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．