Question

5．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_na_n+1=2S_n．（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$n•{2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，求出a₂=2，當(dāng)n≥2時(shí)，求出a_n+1-a_n-1=2，由此能求出a_n=n，n∈N^*．
（2）由a_n=n，$n•{2}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{$n•{2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_na_n+1=2S_n．（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁a₂=2a₁，解得a₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1a_n=2S_n-1，a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴a₁，a₃，…，a_2n-1，…，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，a_2n-1=2n-1，
a₂，a₄，…，a_2n，…，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)，a_2n=2n，
∴a_n=n，n∈N^*．
（2）∵a_n=n，$n•{2}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{$n•{2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和：
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n•2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．