Question

函數(shù)f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x，a∈R，且f（-

π

3

）=f（0）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）將f（x）化成y=Asin（wx+φ）的形式，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀�，再向左平�?span id="8m1pwen" class="MathJye">

π

6

個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g（x），當(dāng)x∈[

π

6

，

2

3

π]時，求g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（-

π

3

）=f（0）可得關(guān)于a的方程，解出即可．
（2）利用倍角公式可化f（x）=2sin（2x-

π

6

），令-

π

2

+2kπ＜2x-

π

6

＜

π

2

+2kπ可得函數(shù)的增區(qū)間，注意區(qū)間的形式；
（3）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得g（x）=2sinx，由x∈[

π

6

，

2

3

π]及正弦函數(shù)的值域可得g（x）的值域；

解答： 解：f（x）=

1

2

asin2x-cos2x，
(1)∵f(-

π

3

)=-

3

4

a+

1

2

，f(0)=-1，
∴f（-

π

3

）=f（0），即為-

3

4

a+

1

2

=-1，
∴a=2

3

；
(2)f(x)=2

3

sinxcosx-cos2x+sin2x=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
令-

π

2

+2kπ＜2x-

π

6

＜

π

2

+2kπ，得-

π

6

+kπ＜x＜

π

3

+kπ，k∈Z，
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間為(-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ)，k∈Z；
（3）f（x）=2sin（2x-

π

6

）圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀叮�得函�?shù)y=2sin（x-

π

6

）的圖象，
再向左平移

π

6

個單位，得到g（x）=2sinx的圖象，
當(dāng)x∈[

π

6

，

2π

3

]，g（x）∈[1，2]．

點(diǎn)評：本題考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、單調(diào)性及值域求解，屬中檔題，熟練掌握三角恒等變換知識解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)．