【題目】已知函數(shù).

1)討論的單調(diào)性;

2)求證:當(dāng)時(shí),.

【答案】1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

1)根據(jù)題意,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題,分情況討論函數(shù)單調(diào)性;

2)解法一:轉(zhuǎn)化思想,等價(jià)于設(shè),只須證當(dāng)時(shí),成立,即可證明.

解法二:導(dǎo)出的不等式,要證,只須證;

解法三:同解法二,只須證,構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用放縮法,證明不等式;

解法四:要證,只須證.因?yàn)?/span>,所以)所以只須證,即證;

解法五:要證,只須證,結(jié)合解法四的放縮法,因?yàn)?/span>,所以)再結(jié)合解法三的放縮法,又 ,即可證明.

解法一:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

.

當(dāng)時(shí),恒成立,故單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),由.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

2)由,等價(jià)于.

設(shè),只須證當(dāng)時(shí),成立.

因?yàn)?/span>

,得有異號(hào)兩根,令其正根為,

,從而.

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.

所以的最大值為,

,則,,

所以.

所以.

所以,所以當(dāng)時(shí),.

解法二:(1)同解法一.

2)要證,只須證.

設(shè),則

,則,單調(diào)遞減,

,,

所以存在惟一的,使.

當(dāng)時(shí),,從而單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減.

所以的最大值為

因?yàn)?/span>,所以,所以,

,所以①式成立,所以當(dāng)時(shí),.

解法三:(1)同解法一.

2)要證,只須證.

,則

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

所以,所以.

所以,

要證①式成立,只須證.

設(shè),則

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.

所以的最大值為

,所以②式成立,

所以當(dāng)時(shí),.

解法四:(1)同解法一.

2)要證,只須證.

因?yàn)?/span>,所以

所以只須證,即證.

設(shè),

),

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

所以,所以①式成立,

所以當(dāng)時(shí),.

解法五:(1)同解法一.

2)要證,只須證.

因?yàn)?/span>,所以

(證明過(guò)程見(jiàn)解法三,考生未寫(xiě)出證明過(guò)程扣1分)

所以只須證,即證,這顯然成立.

所以當(dāng)時(shí),.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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