Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁、F₂分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)$M（2，\sqrt{3}）$與F₁連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作不與坐標(biāo)軸重合的直線(xiàn)l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為D，連接QD并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)E，求證：直線(xiàn)PE與l的斜率的乘積是定值-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），通過(guò)|MF₂|=|F₁F₂|，列出方程求出c，利用離心率求解ab，可得橢圓C的方程．
（II）（方法1）設(shè)直線(xiàn)l方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），求出Q，D的坐標(biāo)，直線(xiàn)QD的斜率，得到直線(xiàn)QD方程，與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理求解斜率乘積．
（方法2）設(shè)P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0）利用平方差法，證明直線(xiàn)PE與l的斜率的乘積是定值．

解答 解：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意|MF₂|=|F₁F₂|，
∴$\sqrt{{{（2-c）}^2}+3}=2c$，解得c=1，…（2分）
∵$e=\frac{1}{2}$，∴a=2，b²=3，…（4分）
∴橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（6分）
（II）（方法1）設(shè)直線(xiàn)l方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線(xiàn)QD的斜率是$\frac{y_1}{{2{x_1}}}=\frac{k}{2}$，
直線(xiàn)QD方程是$y=\frac{k}{2}（x-{x_1}）$，…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k}{2}（x-{x_1}）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得$（3+{k^2}）{x^2}-2{k^2}{x_1}x+{k^2}{x_1}^2-12=0$，
則$-{x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}{x_1}}}{{3+{k^2}}}$，
∴${k_{PE}}•{k_l}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•k=\frac{{\frac{k}{2}（{x_2}-{x_1}）-k{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•k=\frac{{\frac{k}{2}•\frac{{2{k^2}{x_1}}}{{3+{k^2}}}-k{x_1}}}{{\frac{{2{k^2}{x_1}}}{{3+{k^2}}}}}•k=-\frac{3}{2}$，
直線(xiàn)PE與l的斜率的乘積是定值$-\frac{3}{2}$．…（12分）
（方法2）設(shè)P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{3}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{3}=1\end{array}\right.$，得$\frac{{{y_2}^2-{y_1}^2}}{{{x_2}^2-{x_1}^2}}=-\frac{3}{4}$，…（8分）
∵Q、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)，∴$\frac{y_1}{{2{x_1}}}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}$，…（10分）
∴${k_{PE}}•{k_l}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{y_1}{x_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{2（{y_2}+{y_1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{2（{y_2}^2-{y_1}^2）}}{{{x_2}^2-{x_1}^2}}=-\frac{3}{2}$，
直線(xiàn)PE與l的斜率的乘積是定值$-\frac{3}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，平方差法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．