如圖已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、O 三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；                             
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括點(diǎn)O、B）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，在RtOAB中，過(guò)B作BD垂直于x軸，垂足為D，只要求OD，BD即可
（2）把A（2，0），B（
3
2
，
3
2
）（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，解方程可求a，b，c進(jìn)而可求函數(shù)解析式
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，y）（0＜x＜
3
2
），使得四邊形ABCO的面積最大，由于△OAB的面積為定值，只要△OBC的面積最大，四邊形ABCO的面積就最大
過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則S△OBC=
1
2
CF•OE+
1
2
CF•ED=
1
2
CF•OD=
3
4
CF=
3
4
(yC-yF)=
3
4
(-
2
3
3
x2+
3
x)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求
解答：解：（1）在RtOAB中，∠AOB=30°
∴OB=
3
，過(guò)B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD=
3
2
，BD=
3
2

∴B(
3
2
，
3
2
)（3分）
（2）把A（2，0），B（
3
2
，
3
2
），O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c可得
c=0
4a+2b+c=0
9a
4
+
3b
2
+c=
3
2

∴a=-
2
3
3
，b=
4
3
3
，c=0
∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-
2 
3
3
x2+
4
3
3
x（6分）
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，y）（0＜x＜
3
2
），使得四邊形ABCO的面積最大
∵△OAB的面積為定值
∴只要△OBC的面積最大，四邊形ABCO的面積就最大
過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，過(guò)B做BD垂直于y軸，則
S△OBC=
1
2
EF•BD=
3
4
CF=
3
4
(yC-yF)=
3
4
(-
2
3
3
x2+
3
x)
∴S△OBC=-
3
2
x 2 +
3
3
4
x=-
3
2
(x-
3
4
)2+
9
3
32

∴當(dāng)x=
3
4
時(shí)，△OBC的面積最大，最大面積為
9
3
32

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（
3
4
，
5
3
8
），四邊形ABCO的面積為
25
3
32
（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在直角三角形中求解線段的長(zhǎng)度，及利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識(shí)的綜合應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)的右準(zhǔn)線交x軸于A，虛軸的下端點(diǎn)為B，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于P，過(guò)點(diǎn)A、B的直線與FP相交于點(diǎn)D，且2
OD
=
OF
+
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若a=2，過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l交該雙曲線于不同兩點(diǎn)M、N，求
OM
•
ON
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線l與拋物線y=
1
4
x2相切于點(diǎn)P（2，1），且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足
AB
•
BM
+
2
|
AM
|=0，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線l'（斜率不等于零）與（1）中的軌跡C交于不同
的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），且
BE
=λ
BF
，試求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，DN⊥x軸，點(diǎn)M在DN的延長(zhǎng)線上，且
DM
=λ
DN
（λ＞0）．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并求當(dāng)λ為何值時(shí)M的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）當(dāng)λ=
1
2
時(shí)，（1）所得曲線記為C，已知直線l：
x
2
+y=1，P是l上的動(dòng)點(diǎn)，射線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|2，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

請(qǐng)考生在（1）（2）中任選一題作答，每小題12分．如都做，按所做的第（1）題計(jì)分．
（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O過(guò)A、B兩點(diǎn)且與BC相切于點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D，連接B、D，若BC=
5
-1，求AC的長(zhǎng)．
（2）已知雙曲線C：x2-y2=2，以雙曲線的左焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，射線FO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為極軸，點(diǎn)M為雙曲線上任意一點(diǎn)，其極坐標(biāo)是（ρ，θ），試根據(jù)雙曲線的定義求出ρ與θ的關(guān)系式（將ρ用θ表示）．

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