Question

已知

OA

=（1，sinθ），

OB

=（cosθ，1），θ∈（0，

π

2

），則△AOB面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用向量的夾角公式可得cos∠AOB，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系可得sin∠AOB，再利用三角形的面積計(jì)算公式和三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵

OA

=（1，sinθ），

OB

=（cosθ，1），θ∈（0，

π

2

），
∴|

OA

|=

1+sin2θ

，|

OB

|=

cos2θ+1

，

OA

•

OB

=cosθ+sinθ．
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA | | OB |

=

cosθ+sinθ

1+sin2θ 1+cos2θ

，
∴sin∠AOB=

1-cos2∠AOB

=

1-sinθcosθ

1+sin2θ 1+cos2θ

．
∴△AOB面積S=

1

2

|

OA

| |

OB

sin∠AOB|
=

1

2

×

1+sin2θ

×

1+cos2θ

×

1-sinθcosθ

1+sin2θ 1+cos2θ

=

1

2

-

1

4

sin2θ．
∵θ∈（0，

π

2

），
∴2θ∈（0，π）．
∴當(dāng)2θ=

π

2

即θ=

π

4

時(shí)，sin2θ取得最大值，S_△AOB取得最小值：

1

2

-

1

4

=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的夾角公式、三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．