Question

平面向量

a

，

b

，

e

滿足|

e

|=1，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，|

a

-

b

|=2，則

a

•

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，建立直角坐標系．由|

e

|=1，不妨設

e

=（1，0）．由

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，可設

a

=（1，m），

b

=（2，n）．利用|

a

-

b

|=2，可得

1+(m-n)2

=2，（m+n）²=3+4mn≥0，再利用數(shù)量積運算

a

•

b

=2+mn即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．
∵|

e

|=1，∴不妨設

e

=（1，0）．
∵

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，
∴可設

a

=（1，m），

b

=（2，n）．
∴

a

-

b

=（-1，m-n）．
∵|

a

-

b

|=2，
∴

1+(m-n)2

=2，化為（m-n）²=3，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-

3

4

，當且僅當m=-n=±

3

2

時取等號．
∴

a

•

b

=2+mn≥2-

3

4

=

5

4

．
故答案為：

5

4

．

點評：本題考查了通過建立直角坐標系解決向量有關問題、數(shù)量積運算及其性質、不等式的性質，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．