Question

已知點(diǎn)P（0，4）在圓C：x²+y²+6x-8y+m=0外．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=24，求x²+y²的最小值；
（3）在第（2）問的條件下，求

y-4

x

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用,圓的一般方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）直接把點(diǎn)代入圓的方程的左側(cè)，表達(dá)式大于0，并且圓的方程表示圓，即可求出m的范圍；
（2）x²+y²為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方；
（3）設(shè)

y-4

x

=k，即kx-y+4=0，由題意，圓心到直線的距離d=

|-3k|

k2+1

≤1，即可求出

y-4

x

的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（0，4）在圓C：x²+y²+6x-8y+m=0外，
所以16-32+m＞0，解得m＞16，
二次方程表示圓，∴36+64-4m＞0，解得m＜25，
綜上：m∈（16，25）；
（2）m=24，圓方程為（x+3）²+（y-4）²=1
∵x²+y²為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
∴x²+y²的最小值為（5-1）²=16；
（3）設(shè)

y-4

x

=k，即kx-y+4=0，由題意，圓心到直線的距離d=

|-3k|

k2+1

≤1，
∴-

2

4

≤k≤

2

4

，
∴

y-4

x

的取值范圍為[-

2

4

，

2

4

]．

點(diǎn)評：本題考查圓方程的綜合應(yīng)用，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較綜合．