Question

已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₂、a₃、a₅分別是等比數(shù)列{c_n}的第4項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且a₂=8，公差d≠0．
（1）求等比數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=log₂c_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,綜合題

分析：（1）利用等差數(shù)列{a_n}中，a₂、a₃、a₅分別是等比數(shù)列{c_n}的第4項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且a₂=8，列出關(guān)系式，求出公差，求出等比數(shù)列{c_n}的公比，然后求出它的通項(xiàng)；
（2）利用（1），求出b_n=log₂c_n，得到數(shù)列{|b_n|}的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由題意知a2•a5=

a

2 3

，即8×（8+3d）=（8+d）²，（2分）
解得d=8或d=0（舍去，∵d≠0），∴a₃=16，a₅=32．
則c₂=32，c₃=16，c₄=8，（4分）
∵|c_n|是等比數(shù)列，
∴公比q=

c3

c2

=

16

32

=

1

2

，cn=64×(

1

2

)n-1．（6分）
（2）∵bn=log2cn=log2[64×(

1

2

)n-1]=log227-n=7-n，（7分）
∴|bn| =

7-n   n≤7 n-7   n＞7

，（9分）
則當(dāng)n≤7時(shí)，|b1|=6，Tn=

(6+7-n)n

2

=

n(13-n)

2

；
當(dāng)n＞7時(shí)，|b8|=1，Tn=T7+

(1+n-7)(n-7)

2

=21+

(n-6)(n-7)

2

．（11分）
故Tn=

n(13-n) 2 (n≤7) (n-6)(n-7) 2 +21(n＞7)

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力．