Question

已知數(shù)列{a_n}各項為正數(shù)，前n項和Sn=

1

2

an(an+1)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=

an

1+2bn

，數(shù)列{c_n}前n項和為T_n，求證：Tn＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項公式,數(shù)列的求和

專題：綜合題

分析：（1）當n=1時，a1=S1=

1

2

a1(a1+1)，得a₁=1．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

an(an+1)-

1

2

an-1(an-1+1)，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能求出a_n=n．
（2）由數(shù)列{b_n}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，知bn+1-bn=3an=3n，由此利用累加法能夠求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）由cn=

an

1+2bn

=

n

3n

，知Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，由此利用錯位相減法能夠求出T_n，進而證明Tn＜

3

4

．

解答： 解：（1）當n=1時，a1=S1=

1

2

a1(a1+1)，
∴a12=a1，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

an(an+1)-

1

2

an-1(an-1+1)，
化簡，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，
∴bn+1-bn=3an=3n，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
=

1×(1-3n)

1-3

=

1

2

(3n-1)．
（3）∵cn=

an

1+2bn

=

n

3n

，
∴Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，
∴

1

3

Tn=

1

3 2

+

2

3 3

+

3

3 4

+…+

n

3 n+1

，
則Tn-

1

3

Tn=

1

3

+

1

3 2

+

1

3 3

+…+

1

3 n

-

n

3n-1

=

1 3 ×(1- 1 3 n )

1- 1 3

-

n

3 n-1

=

1

2

-

2n+3

2×3n+1

，
∴Tn=

3

4

-

2n+3

4×3n

＜

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和前n項和的證明，解題時要認真審題，注意累加法、裂項求和法的靈活運用．