Question

已知數(shù)集，其中，且，若對（），與兩數(shù)中至少有一個屬于，則稱數(shù)集具有性質(zhì)

（1）分別判斷數(shù)集與數(shù)集是否具有性質(zhì)，說明理由

（2）已知數(shù)集具有性質(zhì)，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由

Answer 1

【解析】
（1）由于3﹣1和3+1都不屬于集合{0，1，3}，所以該集合不具有性質(zhì)P；

由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都屬于集合{0，2，4，6}，

所以該數(shù)集具有性質(zhì)P．…（4分）

（2）∵A={a1，a2，…，a8}具有性質(zhì)P，所以a8+a8與a8﹣a8中至少有一個屬于A，

由0≤a1＜a2＜…＜a8，有a8+a8＞a8，故a8+a8∉A，∴0=a8﹣a8∈A，故a1=0．

∵0=a1＜a2＜…＜a8，∴a8+ak＞a8，故a8+ak∉A（k=2，3，…，8）．

由A具有性質(zhì)P知，a8﹣ak∈A（k=2，3，…，8）．

又∵a8﹣a8＜a8﹣a7＜…＜a8﹣a2＜a8﹣a1，

∴a8﹣a8=a1，a8﹣a7=a2，…，a8﹣a2=a7，a8﹣a1=a8，即ai+a9﹣i=a8（i=1，2，…，8）．…①

由a2+a7=a8知，a3+a7，a4+a7，…，a7+a7均不屬于A，

由A具有性質(zhì)P，a7﹣a3，a7﹣a4，…，a7﹣a7均屬于A，

∴a7﹣a7＜a7﹣a6＜…＜a7﹣a4＜a7﹣a3＜a8﹣a3 ，

∴a7﹣a7=0，a7﹣a6=a2，a7﹣a5=a3，…，a7﹣a3=a5，即 ai+a8﹣i=a7（i=1，2…7）．…②

由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1） （i=1，2…7，8），

即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7（i=2，3，…，8）．

故a1，a2，…a8構(gòu)成等查數(shù)列．…（10分）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)數(shù)集A具有性質(zhì)P的定義，判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P．

（2）根據(jù)數(shù)集A={a1，a2…a8}具有性質(zhì)P，可得ai+a9﹣i=a8 …①，ai+a8﹣i=a7 …②，由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1），即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7，從而得到a1，a2，…a8構(gòu)成等查數(shù)列．

考點：新定義；等差數(shù)列與等比數(shù)列。