Question

（1）若函數(shù)f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n∈N^*且n≥2時，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式

 

．
（2）用反證法證明命題“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除“時，假設(shè)應(yīng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,反證法

分析：（1）由已知f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，則易得f₂（x）、f₃（x）的表達(dá)式，根據(jù)三個表達(dá)式，我們歸納出變化規(guī)律，進(jìn)而推斷出f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式．
（2）反設(shè)是一種對立性假設(shè)，即想證明一個命題成立時，可以證明其否定不成立，由此得出此命題是成立的．

解答： 解：（1）∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n∈N^*且n≥2時，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
∴f₂（x）=f[f₁（x）]=

f1(x)

f1(x)+2

=

x

3x+4

，f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
猜想f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．
（2）反證法證明命題時，應(yīng)假設(shè)命題的反面成立．“a，b中至少有一個能被3整除”的反面是：
“a，b都不能被3整除”，故應(yīng)假設(shè) a，b都不能被3整除，
故答案為：（1）f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

；（2）假設(shè) a，b都不能被3整除．

點(diǎn)評：猜想是課改的一個亮點(diǎn)，也是近年高考的一個熱點(diǎn)．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．