Question

11．已知n∈N^*，n＞1，n個(gè)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_n 滿足a₁+a₂+…+a_n=0，|a₁|+|a₂|+…+|a_n |=1．求證：|a₁+2a₂+3a₃+…+n|a_n|≤$\frac{n-1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)a₁+a₂+…+a_n=0，可設(shè)a_i1≤a_i2≤…≤a_is≤0≤a_j1≤a_j2≤…≤a_jt，再根據(jù)排序不等式得出：
1•a₁+2•a₂+…+n•a_n≤（1•a_i1+2•a_i2+…s•a_is）+[（s+1）•a_j1+（s+2）•a_j2+…+n•a_jt]，最后作出放縮，即可證明原命題．

解答 證明：由于a₁+a₂+…+a_n=0，不妨設(shè)a_i1≤a_i2≤…≤a_is≤0≤a_j1≤a_j2≤…≤a_jt，
即a_n中有s個(gè)非正項(xiàng)，有t個(gè)非負(fù)項(xiàng)，則有，
a₁+a₂+…+a_n=（a_i1+a_i2+…+a_is）+（a_j1+a_j2+…+a_jt）=0，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a_i1+a_i2+…+a_is）+（a_j1+a_j2+…+a_jt）=1，
解得，a_i1+a_i2+…+a_is=-$\frac{1}{2}$，a_j1+a_j2+…+a_jt=$\frac{1}{2}$，
不妨設(shè)，1•a₁+2•a₂+…+n•a_n≥0（若為負(fù)，可將每項(xiàng)取相反數(shù)，后面證法一致）
根據(jù)排序不等式：
1•a₁+2•a₂+…+n•a_n≤（1•a_i1+2•a_i2+…s•a_is）+[（s+1）•a_j1+（s+2）•a_j2+…+n•a_jt]
≤1•（a_i1+a_i2+…+a_is）+n•（a_j1+a_j2+…+a_jt）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{n-1}{2}$，
因此，|1•a₁+2•a₂+…+n•a_n|≤$\frac{n-1}{2}$，證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用排序不等式證明不等式，涉及到絕對(duì)值的處理和合理的放縮，充分考查了分析，處理問題的能力，屬于難題．