Question

設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量

a

，

b

的夾角為銳角，且|

b

|=1，則使

a

+m

b

與

a

+（1-m）

b

垂直的所有實(shí)數(shù)m的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由向量垂直可得數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)可得m²-m-（|

a

|²+|

a

|cos＜

a

，

b

＞）=0，由韋達(dá)定理可得結(jié)論．

解答： 解：∵

a

+m

b

與

a

+（1-m）

b

垂直，
∴（

a

+m

b

）•[

a

+（1-m）

b

]=0，
即|

a

|²+m（1-m）|

b

|²+

a

•

b

=0，
即|

a

|²+m（1-m）|

b

|²+|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞=0
把|

b

|=1代入可得|

a

|²+m（1-m）+|

a

|cos＜

a

，

b

＞=0
變形可得m²-m-（|

a

|²+|

a

|cos＜

a

，

b

＞）=0 （*）
看作關(guān)于m的一元二次方程，
∵＜

a

，

b

＞為銳角，
∴（|

a

|²+|

a

|cos＜

a

，

b

＞）＞0
∴△=1+4（|

a

|²+|

a

|cos＜

a

，

b

＞）＞0
∴（*）一定有2個(gè)不同的解m₁．m₂，
由韋達(dá)定理可得m₁+m₂=1，即所有實(shí)數(shù)m的和為1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題．