Question

7．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，BF⊥平面ABCD，DE∥BF．
（Ⅰ）求證：AC⊥EF；
（Ⅱ）若BF=2，DE=1，在EF上取點G，使BG∥平面ACE，求直線AG與平面ACE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，證明AC⊥平面DEFB，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，求出G的坐標(biāo)，再求出直線AG與平面ACE所成角θ的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，則
∵DE∥BF，
∴D、E、B、F共面
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵BF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BF，
∵BD∩BF=B，
∴AC⊥平面DEFB，
∵EF?平面DEFB，
∴AC⊥EF；
（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），
設(shè)G（2-x，2-x，x），平面ACE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（1，0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{BG}$=（2-x，2-x，x），
∴2-x+2-x-x=0，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴$\overrightarrow{AG}$=（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴直線AG與平面ACE所成角θ的正弦值為|$\frac{-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．