Question

設(shè)S_n為數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和，S_n=λa_n-1，λ為常數(shù)，n=1、2、3…
（1）若a3=

a

2 2

，求λ的值
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使該數(shù)列是等差數(shù)列？若存在，求λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=λa_n-1，求出知a₁，根據(jù)a3=

a

2 2

，即可求出λ的值．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，然后解方程，得到矛盾即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S_n=λa_n-1，
∴a₁=λa₁-1，
a₂+a₁=λa₂-1，
a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1，得λ≠1，
∴a₁=

1

λ-1

，a2=

λ

(λ-1)2

，a3=

λ2

(λ-1)3

，
∵a3=

a

2 2

，
∴

λ2

(λ-1)3

=

λ2

(λ-1)4

，
∴λ=0，或λ=2．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
則2a₂=a₁+a₃，
由（1）得

2λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，
∴

2λ

(λ-1)2

=

2λ2-2λ+1

(λ-1)3

，
整理得1=0，不成立，
∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，考查學(xué)生的計(jì)算能力．