【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為2.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上頂點(diǎn),點(diǎn)A是橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),直線交x軸于點(diǎn)M,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,直線交x軸于點(diǎn)N.問(wèn):在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)Q,使得?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在點(diǎn)滿足題意.
【解析】
(Ⅰ)利用橢圓的幾何性質(zhì)建立方程組求解基本量得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo),寫出直線的方程,求出N點(diǎn)坐標(biāo),同理求出M點(diǎn)坐標(biāo),利用直角三角形中正切函數(shù)的定義建立方程,結(jié)合橢圓方程即可求解.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為,
由題可知解得.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
設(shè),
則直線的方程為.
令,得,即.
因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,所以.
則直線的方程為.
令,得,即.
假設(shè)存在點(diǎn),
使得.
由,
得,即.
因?yàn)?/span>,
所以.
又,所以.
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),.
所以在y軸的正半軸上存在點(diǎn),
使得.
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【題目】在圓上有21個(gè)點(diǎn).證明:以這些點(diǎn)為端點(diǎn)組成的所有弧中,不超過(guò)120°的弧不少于100條.
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【題目】 已知函數(shù)(a為常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】半期考試后,班長(zhǎng)小王統(tǒng)計(jì)了50名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī),繪制頻率分布直方圖如圖所示.
根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績(jī);
用分層抽樣的方法從成績(jī)低于115的同學(xué)中抽取6名,再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名,求這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)均在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為,,直線l:與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
若直線l過(guò)點(diǎn),且十,求直線l的方程;
若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(一2,2)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)。若橢圓C上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=8,則m的取值范圍是( ).
A. B. [9,25] C. D. [3,5]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線l過(guò)點(diǎn)F1,且|AB|=,求k的值;
(2)若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,試探究點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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【題目】,設(shè)
(Ⅰ)求函數(shù)的周期及單調(diào)增區(qū)間。
(Ⅱ)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知 ,求邊的值.
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【題目】設(shè)、、為集合的任意三個(gè)元子集,且,.問(wèn):是否存在,,,使得其中某兩個(gè)數(shù)的和等于第三個(gè)數(shù)?
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