Question

如圖，已知AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點(diǎn)，D是線(xiàn)段PA的中點(diǎn)，E是線(xiàn)段AC上的一點(diǎn)．
求證：（Ⅰ）若E為線(xiàn)段AC中點(diǎn)，則DE∥平面PBC；
（Ⅱ）無(wú)論E在AC何處，都有BC⊥DE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由三角形中位線(xiàn)定理可得DE∥BC，進(jìn)而由線(xiàn)面平行的判定定理得到DE∥平面PBC；
（Ⅱ）要證明“無(wú)論E在AC何處，都有BC⊥DE”，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明BC⊥平面PAC．

解答： 解：（Ⅰ）∵D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC；
（Ⅱ）∵AB是圓的直徑，C是圓上任一點(diǎn)，
∴BC⊥AC，
又∵PA垂直圓所在的平面，
∴BC⊥PA，
又∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵DE?平面PAC，
∴無(wú)論E在AC何處，都有BC⊥DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線(xiàn)與平面位置關(guān)系的判定，性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，