Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，①求證：BD⊥EG；②求二面角D-BF-C的余弦值；
（2）三棱錐D-FBC的體積是否可能等于幾何體ABE-FDC體積的一半？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）①：過D點(diǎn)作EF的垂線交EF于H，連接BH，由已知得四邊形ADHE是正方形，四邊形EHGB是正方形，由此能證明BD⊥EG．
②以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-BF-C的余弦值．
（2）由已知得三棱錐D-BCF的體積為V=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

(8-2x)x=

8

3

x-

2

3

x2，V_ABE-FDC=V_ABE-DGH+V_D-HGCF=

16

3

x-

13

12

x2＞2V，從而棱錐D-FBC的體積不可能等于幾何體ABE-FDC體積的一半．

解答： （1）①證明：過D點(diǎn)作EF的垂線交EF于H，連接BH．如圖．
∵AE=AD=2　且AE∥DH，AD∥EF，∠A=

π

2

．
∴四邊形ADHE是正方形
∵EH=2
∴四邊形EHGB是正方形
即：BH⊥EG（正方形對(duì)角線互為垂直）
∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，
∴EG⊥△BDH所在平面
即：BD⊥EG．
②解：以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EF為y軸，
EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（2，0，0），F(xiàn)（0，3，0），
D（0，2，2），C（2，4，0），

BF

=（-2，3，0），

BD

=（-2，2，2），
設(shè)平面BDF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BD =-2x+2y+2z=0 n • BF =-2x+3y=0

，取x=3，得

n

=（3，2，1），
又平面BCF的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

14

=

14

14

．
∴二面角D-BF-C的余弦值為

14

14

．
（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，
平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．結(jié)合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，
∴四邊形AEHD是矩形，得DH=AE，
故以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐D-BCF的高DH=AE=x，
又∵S_△BCF=

1

2

BC•BE=

1

2

×4×(4-x)=8-2x．
∴三棱錐D-BCF的體積為V=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

(8-2x)x=

8

3

x-

2

3

x2，
V_ABE-FDC=V_ABE-DGH+V_D-HGCF
=S△ABE•AD+

1

3

SHGCF•DH
=

1

2

x(4-x)×2+

1

3

×

1

2

(

1

2

x+2)(4-x)x
=

16

3

x-

13

12

x2＞2V，
∴棱錐D-FBC的體積不可能等于幾何體ABE-FDC體積的一半．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面折疊問題，求證直線與直線垂直，求體積的最大值并求此時(shí)異面直線所成角大�。�著重考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角大小的求法等知識(shí)，屬于中檔題．