Question

2．過橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁（-$\sqrt{3}$，0），而且過點C（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）
（1）求橢圓E的方程：
（2）過點C的直線l與橢圓E的另一交點為D，與y軸的交點為B．過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為H．若CD•CB=2OH²，求直線l的方程．
（3）設橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線0T與過點M，N的圓G相切，切點為T．線段0T的長是否為定值，若是并求出該定值，不是說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓的兩個焦點分別為（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（-$\sqrt{3}$，0），利用橢圓的定義，可求橢圓E的方程；
（2）設直線l的方程代入橢圓方程，求出D的橫坐標；直線OH的方程代入橢圓方程，求出H的橫坐標，利用CD•CB=2OH²，建立方程，即可求得直線l的方程．
（3）由（1）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），求出x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，x_M=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，可得|OM||ON|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$|=4由切割線定理可得線段OT的長度．

解答 解：（1）橢圓的兩個焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（-$\sqrt{3}$，0），
由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|=$\frac{7}{2}+\frac{1}{2}$=4，所以a=2，b²=1，
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由題意，設直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=k（x-$\sqrt{3}$），
代入橢圓方程可得（x-$\sqrt{3}$）[（4k²+1）（x-$\sqrt{3}$）-（-8$\sqrt{3}$k+4）]=0
∵x-$\sqrt{3}$≠0，x_D-$\sqrt{3}$=$\frac{-8\sqrt{3}k+4}{4{k}^{2}+1}$
由題意，直線OH的方程為y=kx，代入橢圓方程可得（4k²+1）x²=4
∴${{x}_{H}}^{2}$=$\frac{4}{4{k}^{2}+1}$
∵CD•CB=2OH²，
∴|x_D-$\sqrt{3}$|×|x₀-$\sqrt{3}$|=2${{x}_{H}}^{2}$，
∴|$\frac{-8\sqrt{3}k+4}{4{k}^{2}+1}$|×$\sqrt{3}$=2×$\frac{4}{4{k}^{2}+1}$
∴k=$\frac{\sqrt{3}±2}{6}$
∴直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}±2}{6}$（x-$\sqrt{3}$），
（3）由（1）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），
直線PA₁：y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x，令y=0，得x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$；
直線PA₂：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x，令y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$；
則|OM||ON|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$|=4，由切割線定理得OT²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查圓與橢圓為綜合，考查線段長的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．