Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），稱d（P₁，P₂）=max{|x₁-x₂|，|y₁-y₂|}（其中max{a，b}表示a、b中的較大數(shù)）為P₁、P₂兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”；
（1）若P（3，1）、Q為直線y=2x-1上的動(dòng)點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值；
（2）定點(diǎn)C（x₀，y₀），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足d（C，P）=r（r＞0），請(qǐng)求出P點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x，2x-1），可得d（P，Q）=max{|x-3|，|2-2x|}，討論|x-3|，|2-2x|的大小，可得距離d，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；
（2）運(yùn)用分段函數(shù)的形式求得d（C，P），分析各段與不等式表示的區(qū)域的圖形，即可得到面積．

解答 解：（1）設(shè)Q（x，2x-1），可得d（P，Q）=max{|x-3|，|2-2x|}，
由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤$\frac{5}{3}$，即有d（P，Q）=|x-3|，
當(dāng)x=$\frac{5}{3}$時(shí)，取得最小值$\frac{4}{3}$；
由|x-3|＜|2-2x|，解得x＞$\frac{5}{3}$或x＜-1，即有d（P，Q）=|2x-2|，
d（P，Q）的范圍是（3，+∞）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）=（$\frac{4}{3}$，+∞）．
綜上可得，P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為$\frac{4}{3}$；
（2）由題意可得，d（C，P）=r=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}_{0}-x|，|{x}_{0}-x|≥|{y}_{0}-y|}\\{|{y}_{0}-y|，|{x}_{0}-x|＜|{y}_{0}-y|}\end{array}\right.$，
當(dāng)|x₀-x|≥|y₀-y|，|x₀-x|=r，即有x=x₀±r，
圍成的圖形為關(guān)于點(diǎn)（x₀，y₀）對(duì)稱的三角形區(qū)域；
當(dāng)|x₀-x|＜|y₀-y|，|y₀-y|=r，即有y=y₀±r，
圍成的圖形為關(guān)于點(diǎn)（x₀，y₀）對(duì)稱的三角形區(qū)域．
綜上可得P點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形為邊長為2r的正方形區(qū)域，
其面積為4r²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查不等式的解法和平面區(qū)域的面積求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．