Question

4．設(shè)點(diǎn)P（x，y）滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤2x+2}\end{array}\right.$，點(diǎn)Q（a，b）滿足ax+by≤1恒成立，其中O是原點(diǎn)，a≤0，b≥0，則Q點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由已知中在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤2x+2}\end{array}\right.$，則滿足ax+by≤1恒成立得到ax+by的最大值為2，所以Q的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{2b≤1}\\{a≤0，b≥0}\end{array}\right.$，畫出滿足條件的圖形，即可得到點(diǎn)Q的軌跡圍成的圖形的面積．

解答 解：由ax+by≤1，
∵作出點(diǎn)P（x，y）滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤2x+2}\end{array}\right.$的區(qū)域，如圖，
ax+by≤1恒成立，因?yàn)閍≤0，b≥0，所以只須點(diǎn)P（x，y）在可行域內(nèi)的角點(diǎn)處：B（0，2），ax+by≤1成立即可，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{2b≤1}\\{a≤0，b≥0}\end{array}\right.$，
它表示一個(gè)長(zhǎng)為1寬為$\frac{1}{2}$的矩形，其面積為：$\frac{1}{2}$；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．