Question

12．已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的可導(dǎo)函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）＜f（x）在R上恒成立，則不等式ef（x）＞f（1）e^x上的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 ef（x）＞f（1）e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，構(gòu)造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，故由g（x）的單調(diào)性得出答案．

解答 解：∵f′（x）＜f（x），∴$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，∴$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{（{e}^{x}）^{2}}$＜0，
∴g（x）在R上是減函數(shù)．
∵ef（x）＞f（1）e^x，
∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即g（x）＞g（1）．
∴x＜1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是解題關(guān)鍵．