Question

【題目】如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C： =1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為 ，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得 = ，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1（a＞1）的離心率為 ，

∴

解得：a2=3，所以所求橢圓C的方程為

（2）解：假設(shè)存在直線l，使得 = ，

當直線l垂直于x軸時，不符合題意，故設(shè)直線l方程為y=kx+b，

由直線l與圓O相切，可得b2=k2+1 …（1）（7分）

直線ly=kx+b代入橢圓C的方程為 ，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣3=0

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則 ，

∴ = = …（2）

由（1）（2）可得k2=1，b2=2

故存在直線l，方程為 ，使得 =

【解析】（1）根據(jù)橢圓C： =1（a＞1）的離心率為 ，可得a2=3，從而可求橢圓C的方程；（2）假設(shè)存在直線l，使得 = ，當直線l垂直于x軸時，不符合題意，故設(shè)直線l方程為y=kx+b，由直線l與圓O相切，可得b2=k2+1，直線l代入橢圓C的方程為 ，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣3=0 設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），進而利用 = ，即可知存在直線l．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．