Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求直線DH與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為四邊形是菱形，

所以 .                                          

因為平面平面，且四邊形是矩形，

所以 平面，                                

又因為 平面，

所以 .                                         

因為 ，

所以 平面.                                    

（Ⅱ）解：設，取的中點，連接，

因為四邊形是矩形，分別為的中點，

所以 ，

又因為 平面，所以 平面，

由，得兩兩垂直.

所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系.                                                        

因為底面是邊長為2的菱形，_，，

所以 ，，，，

，，.       ………………6分

因為 平面，

所以平面的法向量. …………7分

設直線與平面所成角為，

由 ，  

得 ，

所以直線與平面所成角的正弦值為.              ……

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.

設平面的法向量為，

所以                                        

即  

令，得.                               

由平面，得平面的法向量為，

則. 

由圖可知二面角為銳角，

所以二面角的大小為.