Question

4．數(shù)列{a_n}中，a_n≠0，a₁=2且2a_na_n-1+a_n-1-a_n=0（n∈N^*），則a₁₅=$-\frac{2}{55}$．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為首項，以-2為公差的等差數(shù)列，求其通項公式后得答案．

解答 解：由2a_na_n-1+a_n-1-a_n=0，得
a_n-a_n-1=2a_na_n-1，又a_n≠0，
∴$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，即$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=-2（n≥2）$，
∵a₁=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為首項，以-2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}-2（n-1）=\frac{5}{2}-2n=\frac{5-4n}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{5-4n}$．
則${a}_{15}=\frac{2}{5-4×15}=-\frac{2}{55}$．
故答案為：$-\frac{2}{55}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．