Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線y=x-1過橢圓的焦點(diǎn)F₂且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，若△F₁PQ周長為4

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）圓C′：x²+y²=1，直線y=kx+m與圓C′相切且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知F₂（1，0），即c=1，△F₁PQ周長為4

2

，可得a，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由y=kx+m（b＞0）與圓x²+y²=1相切，由y=kx+m代入橢圓方程，利用

OA

•

OB

=λ，求出

1

2

≤k²≤1，再由弦長公式，求出|AB|的長，用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線AB的距離，由此可以導(dǎo)出△OAB面積S的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知F₂（1，0），即c=1，
△F₁PQ周長為4

2

，可得4a=4

2

，即a=

2

，
∴b=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）y=kx+m（b＞0）與圓x²+y²=1相切，則

|m|

1+k2

=1，
即m²=k²+1，k≠0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由y=kx+m代入橢圓方程，消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
又△=8k²＞0
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

1+k2

1+2k2

=λ，
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k²≤1，
由弦長公式，得|AB|=

2 2k2(k2+1)

2k2+1

又點(diǎn)O到直線AB的距離d=1
∴S_△OAB=

1

2

AB•1=

1

2

2 2k2(k2+1)

2k2+1

=

1

2

2- 2 (1+2k2)2

，
∵

1

2

≤k²≤1，
∴4≤（1+2k²）²≤9，
∴S_△OAB∈[

6

4

，

2

3

]．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．