【題目】如圖,四棱錐中,,//,,為正三角形. 若,且與底面所成角的正切值為.
(1)證明:平面平面;
(2)是線段上一點(diǎn),記(),是否存在實(shí)數(shù),使二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
證法一:先計(jì)算出,結(jié)合已知得,由勾股定理得,又,可以證得平面,平面平面
證法二:設(shè)在平面內(nèi)的射影為,連接,結(jié)合已知條件得,可求得,,四邊形是正方形,即可證得垂直關(guān)系
,,兩兩垂直,以它們所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,平面的法向量,繼而求出的值
(1)證法一:,且,,
又為正三角形,所以,
又,,所以,
又,//,,,
所以平面,又因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面.
證法二: 設(shè)在平面內(nèi)的射影為,連接,
則即為在平面內(nèi)的射影,故即為
與底面所成的角,因?yàn)?/span>,所以
而,,所以,
又為正三角形,所以,所以
由,,得,所以 ,從而是正方形,
由,得:平面,于是平面平面.
(2)由(1)可知,,,兩兩垂直,以它們所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,
由可得,所以,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,即,令,得,,
所以,顯然,是平面的法向量.
設(shè)二面角為,
則,
依題意有,解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(1)討論函數(shù)h(x)=的單調(diào)性;
(2)如果對(duì)任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干,其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是.
(1)求的值;
(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為,第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為.記“”為事件,求事件的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線具有性質(zhì):若、是雙曲線左、右頂點(diǎn),為雙曲線上一點(diǎn),且在第一象限.記直線,的斜率分別為,,那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值.
(1)試對(duì)橢圓,類比寫出類似的性質(zhì)(不改變?cè)忻}的字母次序),并加以證明.
(2)若橢圓的左焦點(diǎn),右準(zhǔn)線為,在(1)的條件下,當(dāng)取得最小值時(shí),求的垂心到軸的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)判斷并證明的奇偶性.
(2)證明在內(nèi)單調(diào)遞減.
(3),若對(duì)任意的都有,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題,;命題q:函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)若為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若為真命題,為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,A為橢圓C的右頂點(diǎn),以A為圓心的圓與直線相交于P, 兩點(diǎn),且
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓A的方程;
(Ⅱ)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),已知OM,直線,ON的斜率成等比數(shù)列,記以O(shè)M、ON為直徑的圓的面積分別為S1、S2,試探究的值是否為定值,若是,求出此值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行演講比賽,10位評(píng)委對(duì)兩位選手的評(píng)分如下:
甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9
乙7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
選手的最終得分為去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后,剩下8個(gè)評(píng)分的平均數(shù).那么,這兩個(gè)選手的最后得分是多少?若直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為選手的得分,兩位選手的排名有變化嗎?你認(rèn)為哪種評(píng)分辦法更好?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市化工廠三個(gè)車間共有工人1 000名,各車間男、女工人數(shù)如下表:
第一車間 | 第二車間 | 第三車間 | |
女工 | 173 | 100 | y |
男工 | 177 | x | z |
已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名,抽到第二車間男工的可能性是0. 15.
(1)求x的值;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人,問應(yīng)在第三車間抽取多少名?
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